Resumen
Las ecuaciones diferenciales es el medio más idóneo para la descripción matemática de procesos o fenómenos físicos con evolución continua~ en el tiempo. Para construir un modelo matemático es necesario hacer observaciones de las situaciones que se desean modelar. Sin embargo, en muchas ocasiones, por perturbaciones no consideradas en la elaboración del modelo, se pueden tomar medidas que no concuerdan con los valores reales, llevando a obtener una solución que no describe con precisión el proceso. En consecuencia, es necesario investigar si el modelo encontrado responde a la situación planteada y estudiar el comportamiento de la solución cuando se realizan cambios en las condiciones iniciales. Si x(t) es una solución aproximada del problema, la cual corresponde a una medición errónea x~0 en un tiempo t0 del proceso, y x(t) es la solución real del mismo problema, cabe preguntar ¿Cómo se comportará x (t) con relación a x(t) para tiempos suficientemente grandes?. Si el comportamiento es parecido, es decir que para tiempos grandes la diferencia entre ambas soluciones es pequeña, podríamos concluir que el proceso está bien modelado. Diremos en ese caso que la solución x(t) es estable con respecto a x(t). El estudio del comportamiento cualitativo de las ecuaciones diferenciales ordinarias fue iniciado fundamentalmente por Liapunov a finales del siglo diecinueve; pero no fue sino en los años treinta del siglo veinte que esa forma de estudiar las ecuaciones diferenciales tuvo un gran auge. Desde ese tiempo se han dado muchas definiciones de estabilidad para tratar de describir diferentes situaciones. En este trabajo se propone estudiar fundamentalmente las definiciones de estabilidad uniforme Lipschitziana dadas por Fozi M. Dannan and Saber Elaydi en un artículo publicado en la revista Journal of Mathematical Analysis and Applications [1] proposiciones, lemas, corolarios y ejemplos se hará de manera secuencial utilizando dos números separados por un punto. El primer número indica el capítulo y el otro es el correspondiente a la secuencia. La numeración de las ecuaciones también se hará secuencial mente por capítulo con números arábico; sin embargo, las tres ecuaciones básicas: sistema general de ecuaciones, x' = f(t,x); ecuación Variacional general, z´= fx (t, x(t; to, xo)) z (t) y ecuación Variacional para la solución cero, y' fx(t, O) y (t); se enumerarán con los números romanos (I), (II) y (III) respectivamente, las cuales serán válidas para todo el trabajo sin referencia al capítulo