Resumen
El objetivo del presente trabajo de ascenso es discutir métodos algebraicos y geométricos para determinar cuando una secuencia contiene subsecuencia de suma cero o cuando contiene subsecuencias baricéntricas, es decir secuencias que contienen un término promedio de sus términos. En 1961[10] Erdos - Ginzburg - Ziv inician el estudio de los "problemas de suma cero" con el siguiente resultado: toda secuencia de longitud 2n - 1 en un grupo abeliano de orden n, contiene una subsecuencia de longitud n (n - subsecuencia) y suma cero. En 1976 [21] Olson generaliza este resultado mostrando que con la condición adicional de que ningún elemento se repite más de n+1 vez, entonces el conjunto de las sumas y las n - subsecuencias de la secuencia dada contiene un subgrupo no nulo. Actualmente existen varias formas de verificar el teorema de Erdos - Ginzburg - Ziv, por ejemplo cuando el orden del grupo es un número primo p, es posible usar el siguiente resultado de teoría aditiva: Teorema de Cauchy Davenport [8]. Sean A , B subconjuntos no vacios de Zp entonces ½A + B½³½min{p, ½A½ + ½B½ - 1}. La forma como se usa en este caso el teorema de Cauchy - Davenport, motivó a Haamidoune [16] a crear un método algebraico el cual se conoce hoy día como el método de las cadenas. El método es aplicable sobre cualquier grupo abeliano finito y es posible en cierta forma desarrollar la misma demostración que se usa cuando se utiliza Cauchy - Devenport sobre Zp, para algún tipo de problema de suma cero. Este método permite deducir el teorema de Olson y en consecuencia el teorema de Erdos - Ginzburg - Ziv . Una cadena es básicamente una partición en subconjuntos de cardinalidad 2 del conjunto de los subíndices de los elementos de una secuencia dad. Las propiedades que debe cumplir una cadena establecen un método el cual permite en una forma sistemática deducir resultados sobre secuencias de suma cero. En 1998 [18] toda secuencia de longitud 2n - k + 1 en un grupo abeliano de orden n, con al menos ka elementos diferentes donde ningún elemento se repite n - k + 3 veces entonces las sumas de sus n-subsecuencias contienen un subgrupo no nulo. Como consecuencia Hamidoune - Ordaz - Ortuño dan el siguiente teorema, conjeturado en 1992 por Bialostocki [2] y el cual generaliza el teorema de Erdos - Ginzburg - Ziv. Teorema [18] Toda secuencia de 2n -k +1 elementos en Zn, con al menos k elementos distintos contiene una n-subsecuencia de suma cero. Las secuencias baricéntricas generalizan las secuencias de suma cero cuando su longitud es un múltiplo del orden del grupo donde están definidas. Sea G un grupo abeliano de orden n. La constante de Davenport D(G) se define como el menor entero positivo t tal que toda secuencia de longitud t contiene una subsecuencia de suma cero. Hamidoune en [17] muestra que toda secuencia de longitud k + n - 1 ó k + D(G) - 1 con k ³n contiene una k-subsecuencia baricéntrica, es decir, una secuencia baricéntrica de longitud k. La constante de Davenport baricéntrica BD(G) se define como el menor entero positivo t tal que todo secuencia de longitud t contiene una subsecuencia baricéntrica. El principal objetivo de este trabajo es presentar estimaciones o valores exactos de BD3 (Zq3) con 2 q 4 usando resultado la geometría finita. Este trabajo de ascenso, además de la introducción y las conclusiones, consta de 3 capítulos principales: · El primer capítulo, se presentan y se discuten vía ejemplos resultados sobre secuencias de suma cero. Se dan teoremas de teorías aditiva los cuales son usados en el desarrollo del trabajo. Se dan teoremas de teoría aditiva los cuales son usados en el desarrollo del trabajo. · En el segundo capítulo, se estudian las constante de Davenport D (G) y de Davenport baricéntrica BD (G), las cuales están asociadas a un grupo abeliano se estiman, para ciertos grupos G, las constantes D(G) y la BD (G). En todos los resultados expuestos en el capítulo presentamos ejemplos que ilustran estos resultados. · En el tercer capitulo se establece un método de geometría finita el cual permite dar valores exactos o estimaciones de BD3 (Zq3) con 2 q 4. Los elementos de geometría finita usados son ilustrados con abundantes ejemplos para así ayudar a una mejor visualización de los mismos.