Resumen
En este trabajo se estudia, para qué casos el flujo geodésico es de Anosov cuando la curvatura no es siempre negativa, dando en dimensión dos y en ausencia de puntos conjugados condiciones necesarias y suficientes para que el flujo geodésico sea de Anosov. En los primeros capítulos se presentan algunas definiciones relativas a las formas cuadráticas sobre variedades. En el capítulo tres se demuestra un resultado que permite dar condiciones necesarias y suficientes para determinar cuando un flujo es de Anosov, utilizando formas cuadráticas. En el capítulo IV se realiza un breve estudio acerca de los campos de Jacobi ortogonales a la geodésica a lo largo de la cual están definidos. Finalmente en el capítulo V se vinculan los campos de Jacobi ortogonales a una geodésica o fija, con las soluciones de la ecuación diferencial x´(h)= -k(&(h)) - x2 (h); el estudio de esas soluciones permiten dar condiciones necesarias y suficientes para determinar cuando el flujo geodésico es de Anosov, siempre y cuando estemos en presencia de una superficie suave, Riemannianas, compacta, orientada, conexa y sin puntos conjugados.

Resumen
El flujo geodésico sobre superficies ha sido estudiado ampliamente, en particular, su Hiperbolicidad fue objeto de estudio en los últimos sesenta años. En 1939, Hopf demuestra que si la función curvatura de una superficie (de dimensión 2) es constante e igual a menos uno, entonces el flujo geodésico sobre tal superficie es hiperbólico y Ergódica. Unos años más tarde D. V. Anosov generaliza este resultado a variedades diferenciales de dimensión n>2 y de curvatura constante negativa. Desde entonces, a los flujos geodésicos hiperbólicos se les llama flujos geodésicos de Anosov. En aquel tiempo, aparece en escena un teorema importante, de Do Carmo, que motiva nuevamente dichas investigaciones. Si la curvatura de la superficie es negativa, entonces ésta no tiene puntos conjugados, Do carmo; de ahí que en lugar de estudiar los flujos geodésicos de Anosov condicionando la curvatura, se estudió entonces suponiendo una superficie de puntos conjugados; Green estudia el caso general de flujos de superficies sin puntos conjugados y P. Eberlien, combinando las dos ideas (las de Anosov y las de Green), estudia el flujo geodésico de tipo Anosov sobre variedades sin puntos conjugados, condicionando la función curvatura. En Hernández, presente una caracterización para los flujos geodésicos de Anosov en superficies bidimensionales de Riemann, compactas, diferenciables, sin puntos conjugados, sin imponer condiciones a la curvatura de la superficie y por medio del estudio de las soluciones de un casa particular de la ecuación de Ricatti. En aquella oportunidad, para presentar tal caracterización, no se requería presentar concretamente los Subespacios estables e inestables propios de la Hiperbolicidad en los Anosov. El presente trabajo pretende ampliar tales ideas, presentando algunas consecuencias de la caracterización elaborada en mi tesis de maestría y desarrollar un estudio amplio que permita definir explícitamente los Subespacios estables e inestables; propios de un flujo geodésico de tipo Anosov a través de las soluciones que caracterizan tales flujos. Primeramente se estudia los conceptos e ideas geométricas y dinámicas relativas al problema en cuestión y luego, presentaré los resultados y sus consecuencias.